Просто о работе и расчете П-контура

[UR5FFR]

Текст, изображения, формулы и выкладки из данной статьи могут быть использованы только со ссылкой на оригинал - то есть на этот форум. Права использования материалов не предоставляются гражданам стран, признанных террористическими либо ведущими военные действия в отношении Украины.

До сих пор многие радиолюбители достаточно слабо представляют себе принципы работы П-контура в ламповых усилителях мощности. К этому привело на мой взгляд отсутствие вразумительных статей в отечественной литературе. То что есть либо считает неправильно [4,8], либо написано инженером для инженеров и содержит достаточно сложные формулы не способствующие понимаю сути процессов [3].

Для начала определимся с задачами которые должен решать П-контур. Ламповые усилители мощности для своей работы требуют достаточно высокоомную нагрузку. Обычно речь идет о единицах кОм. Ламповые усилители работают в классе В и строятся по однотакнтой схеме. Амплитуды гармоник на выходе определяются через коэффициенты Берга. Для угла отсечки 90град 1я гармоника имеет амплитуду 0,5, а вторая - 0,212. То есть вторая гармоника всего лишь на 7.45дб меньше основного сигнала. Значить П-контур должен обеспечивать фильтрацию выходного сигнала и подавлять вторую гармонику до уровня не менее 30-35дб относительно основного сигнала. Более высокие гармоники не рассматриваем, так как их уровень пренебрежимо мал.

Предположим, что наш усилитель требует наргрузку 2кОм. Казалось бы, что для согласования с 50ом антенным трактом можно использовать Г-образную цепочку. Попробуем посчитать такое согласование на частоте 10МГц

pi-match_ur5ffr_1.png (29.35 KiB) Viewed 3011 times

Формулы достаточно простые. Вывод идет через нагруженную добротность Q.
Согласование мы выполнили. А что у нас с подавлением второй гармоники. Конечно тут можно запустить моделировщик, например RFSim, и посмотреть по графику. Но это неспортивно

Воспользуемся приблизительной формулой, определяющей степень подавления гармоники с номером n в зависимости от добротности колебательной системы (она справедлива для Q>1).

pi-match_ur5ffr_2.png (8.41 KiB) Viewed 3010 times

Применяя эту формулу легко посчитать что подавление второй гармоники составит 9,4 раза или 19,4дб.
Моделирование схемы в RFSim полностью подтверждает эту цифру

Общее подавление второй гармоники относительно основного тона составит 19,4дб + 7,45дб = 27дб.
При излучаемой мощности 200Вт уровень второй гармоники будет 400мВт, что достаточно много и в 8 раз превышает максимальный уровень внеполосных излучений определенный регламентом в 50мВт. Так что простая Г-цепочка нам не подходит.

Легко посчитать, что того чтобы при 200Вт излучаемой уровень второй гармоники не превышал 50мВт нам необходимо суммарное подавление 36дб. 7,45дб дает нам класс В. Остается 36-7,45=28,55дб (или 26,8 раз), которые должна обеспечить цепь согласования.
Используя формулу связи добротности с коэффициентом подавления гармоник получаем что Q~=18. Используя формулу связи сопротивлений и добротности посчитаем Г-образную цепочку согласования

pi-match_ur5ffr_4.png (6.35 KiB) Viewed 3008 times

Подавление совпадает с требуемым. Но есть небольшой неприятный момент - это цепочка согласует 2кОм в 6.15ом, а не в 50ом
Исправим это добавив на выход еще одну цепь согласования, которая преобразует 6,15ом в 50ом

pi-match_ur5ffr_6.png (8.28 KiB) Viewed 3008 times

Посмотрим в моделировщике что у нас с подавлением второй гармоники двумя последовательно включенными Г-образными цепочками

pi-match_ur5ffr_7.png (24.9 KiB) Viewed 3007 times

35,4дб! Это даже на 7дб больше чем нам надо. Значить добротность Q необходимо брать меньше. Возьмем Q=10. Первая Г-образная цепочка при такой добротности преобразует 2кОм в 19,8ом. Вторая - соответственно 19,8ом в 50ом. Проверим в моделировщике

pi-match_ur5ffr_8.png (25.05 KiB) Viewed 3007 times

Подавление второй гармоники составляет 28,84дб. Бинго!
На практике конечно же используется одна индуктивность - на схеме две катушки показаны для наглядности.

Итак мы путем рассуждений пришли к простому алгоритму расчета П-контура:

1. Исходные данные - сопротивление источника RS и нагрузки RL
2. Задаемся добротность Q в диапазоне от 10 до 15
3. Определяем сопротивление нагрузки первого Г-образного звена
Rv = RS / (Q*Q+1)
это сопротивление еще называют виртуальным
4. Проверяем что выполняется неравенство Rv < RL. Если оно не выполняется то увеличиваем добротность.
4. Расчитываем по известным формулам обе Г-образные цепочки - одна трансформирует RS->Rv, вторая Rv->RL
5. Проверяем результат в моделировщике

pi-match_ur5ffr_19.png (11.95 KiB) Viewed 2919 times

pi-match_ur5ffr_20.png (19.05 KiB) Viewed 2918 times

Именно такой алгоритм был более полувека назад опубликован в американских радиолюбительских журналах [1] и [2].
Расчет достаточно простой и выполнить его можно "на листике" с помощью RFSim.
Так же в сети доступны онлайн-калькуляторы [5],[6] и [7].

Литература
1. George Grammer, W1DF. Simplified design of impedance-matching networks QST №4,5 1957.
2. Irvin M. Hoff, W6FFC. High-frequency power amplifier pi network design. Ham radio magazine №9 1972.
3. К. Шульгин, UA3DA. Методика расчета П-контура передатчика. Радио №5,7 1985
4. Ю. Куриный, UA9ACZ. О помехах телевидению. Радио №10 1983.
5. VK1SV Pi tank calculator
6. Calculate RF amplifier pi coupler by OwenDuffy.net
7. Pi Matching Network by VK2ZAY
8. В.А.Кляровский, Усилители мощности любительских радиостанций, 2008.

[UR5FFR]

Дальнейшая информация будет содержать много математики. Но будем стараться не выходить за рамки школьных знаний
Рассмотрим П-контур

pi-match_ur5ffr_19.png (11.95 KiB) Viewed 2911 times

Запишем для него основные соотношения добротностей Г-звеньев и импедансов

pi-match_ur5ffr_21.png (9.26 KiB) Viewed 2911 times

Из ограничение на значение виртуального сопротивления Rv следует ограничение на минимальную добротность первого звена

pi-match_ur5ffr_22.png (5.73 KiB) Viewed 2911 times

Найдем выражение для индуктивности через добротности и входной/выходной импедансы

pi-match_ur5ffr_23.png (21.83 KiB) Viewed 2911 times

При первом взгляде кажется что значение XL монотонно убывает при росте Q1. Но это не так. Если построить график функции XL(Q1) то мы получим следующее

Screenshot_2024_08_16-2.png (35.18 KiB) Viewed 2389 times

Видно, что в области максимальных значений индуктивности может существовать два варианта выбора добротности первого звена для одного и того же значения индуктивности.

Решая последнее уравнение относительно Q1 получим

pi-match_ur5ffr_40.png (5.34 KiB) Viewed 2773 times

Решение уравнения должно удовлетворять следующим ограничениям

pi-match_ur5ffr_41.png (12.08 KiB) Viewed 2773 times

То есть реактанс катушки не должен быть больше чем среднегеометрическое между сопротивлениями источника и нагрузки. При этом добротность Q будет минимальна и П-контур будет иметь наибольший КПД и полосу пропускания.

В области индуктивностей

pi-match_ur5ffr_43.png (4.71 KiB) Viewed 2773 times

существуют два допустимых решения для добротности первого звена. То есть П-контур имеет двойственную настройку.
Например для Rs = 1800Ω, Rl = 50Ω, XL = 297Ω, мы получаем два значения Q1 = {5.92, 6.2}.
Для частоты 7.1 MHz, значения элементов П-контура будут следующими:
(1) L=6.66µH, C1=73.7pF, C2=16.1pF
(2) L=6.66µH, C1=77.2pF, C2=116.7pF

Зная индуктивность и добротность первого звена Q1 легко считаются емкости C1C2

pi-match_ur5ffr_42.png (11.62 KiB) Viewed 2773 times

Если отбросить область предельно малых значений добротности и максимальной индуктивности, то в остальном для заданной индуктивности существуют единственные значения емкостей С1С2 при которых П-контур обеспечивает трансформацию Rs<->RL.

Случай когда реактанс катушки максимален и равен среднегеометрическому между сопротивлениями источника и нагрузки достаточно интересен и описывается следующими соотношениями

pi-match_ur5ffr_45.png (18.86 KiB) Viewed 2406 times

Интересно, что в таком П-контуре емкости одинаковы, а их реактанс равен реактансу индуктивности (по модую). При этом значение виртуального сопротивления Rv равно параллельно включенным сопротивлениям источника и нагрузки.
Численный пример. Согласование 1800Ω в 50Ω, реактанс индуктивности равен sqrt(1800*50) = 300Ω. Для частоты 7.1 MHz значения элементов П-контура будут равны L = 6.725 µH, C1= C2 = 74.72 pF. Контур с такими параметрами имеет максимальный КПД и самое плохое подавление за пределами полосы пропускания.

Литература
1. Andrii Bilokon, UR5FFR, Pi Network Study, QEX Jul/Aug 2024

[UR5FFR]

Предыдущие формулы красивы и элегантны, они позволяют нам понять как работает П-контур. Но они ни на шаг не приблизили нас к методике его расчета Еще раз вспомним написанное в первом посте

Для начала определимся с задачами которые должен решать П-контур. Ламповые усилители мощности для своей работы требуют достаточно высокоомную нагрузку. Обычно речь идет о единицах кОм. Ламповые усилители работают в классе В и строятся по однотакнтой схеме. Амплитуды гармоник на выходе определяются через коэффициенты Берга. Для угла отсечки 90град 1я гармоника имеет амплитуду 0,5, а вторая - 0,212. То есть вторая гармоника всего лишь на 7.45дб меньше основного сигнала. Значить П-контур должен обеспечивать фильтрацию выходного сигнала и подавлять вторую гармонику до уровня не менее 30-35дб относительно основного сигнала. Более высокие гармоники не рассматриваем, так как их уровень пренебрежимо мал.

Итак понятно какие входные данные у нас есть для расчета П-контура. Это три числа - входной и выходной импедансы, а так же требуемая степень подавления второй гармоники. Будем строить алгоритм расчета исходя из этих данных.

Так как П-контур состоит из двух Г-образных цепочек то для начала определим степень подавления n-той гармоники.
Полный текст статьи с выводом формул тут: Подавление гармоник в L-match
Тут приведу только результат для 2й и 3й гармоник

l-match_ur5ffr_14.png (19.43 KiB) Viewed 2387 times

Нас будет интересовать только подавление 2й гармоники.
Так как у нас П-контур состоит из двух Г-образных цепочек то суммарная аттенюация будет равна произведению аттенюаций каждой из Г-образных цепочек. В итоге мы получаем следующую систему уравнений

Screenshot_2024_08_16-3.png (24.38 KiB) Viewed 2387 times

Это система уравнений относительно двух неизвестных Q1 и Q2. Ее можно численно решить на компьютере например в том же Excel с помощью пакета "Поиск решения". Получение аналитического решения представляет определенные трудности из-за высоких степеней.

Попробуем найти аналитическое в другом виде. Упростим полученное ранее выражение для аттенюации второй гармоники в Г-образной цепочке.
Исходная точная формула:

Screenshot_2024_08_16-4.png (19.94 KiB) Viewed 2387 times

Упрощенная приблизительная формула:

Screenshot_2024_08_16-5.png (10.38 KiB) Viewed 2387 times

Ошибка такой формулы не превышает 0.1 dB когда Q ≥ 5 и возрастает до 0.5 dB когда 1 <= Q < 5. Для Q < 1 эта формула становится неприменима в силу большой погрешности.

П-контур содержит две Г-образные цепочки, поэтому суммарное подавление второй гармоники с использование приближенной формулы будет равно

Screenshot_2024_08_16-6.png (9.9 KiB) Viewed 2387 times

Выражая добротности Q1Q2 через соотношения трансформируемых импедансов получим

Далее записываем это как квадратное уравнение относительно Rv

Screenshot_2024_08_16-8.png (18.47 KiB) Viewed 2387 times

Для упрощения находим только положительный корень

Screenshot_2024_08_16-9.png (14.46 KiB) Viewed 2387 times

Зная Rv мы можем определить значения всех элементов контура.
Данное решения обладает приемлемой практической точностью и позволяет находить решение П-контура для заданных начальных условий.

Пример численных расчетов: Rs = 1800Ω, Rl = 50Ω, требуемое подавление второй гармоники A = 28 dB, частота 10MHz
Находим Rv

Вычисляем Q1 и Q2

Screenshot_2024_08_16-11.png (27.55 KiB) Viewed 2386 times

Определяем реактансы элементов

Screenshot_2024_08_16-12.png (39.72 KiB) Viewed 2386 times

Вычисляем значения элементов П-контура для заданной рабочей частоты 10МГц

Screenshot_2024_08_16-13.png (25.18 KiB) Viewed 2386 times

Проверка в симуляторе дает подавление второй гармоники 28.16dB что очень близко к требуемым 28dB

Литература
1. Andrii Bilokon, UR5FFR, Pi Network Study, QEX Jul/Aug 2024

[UR5FFR]

Если у нас мощный усилитель который выдает 1kWt то легко посчитать что П-контур должен обеспечивать подавление второй гармоники не менее 35дб. Иначе мы превысим требование по максимальному уровню внеполосных излучений в 50мВт.
При этом добротность получается 15 и выше, а КПД падает до 93% - то есть 70Вт уходят в тепло. Если снизить добротность то уменьшится подавление второй гармоники, что неприемлемо.

Решение этой проблемы предложено более полувека назад и называется Pi-L network. Схематически на выход П-контура добавляется индуктивность. Так же как и основная индуктивность её значение зависит от диапазона и требуется дополнительная коммутация галетником.

pi-match_ur5ffr_28.png (6.85 KiB) Viewed 2873 times

На самом деле мы добавляем не только индуктивность а дополнительное звено согласовния. Заглянем "под капот". Эквивалентная схема следующая

pi-match_ur5ffr_29.png (19.21 KiB) Viewed 2873 times

Виртуальное сопротивление Rv2 выбирается порядка 200-300ом. Расчет звеньев производится по стандартной методике.
Для того чтобы было понятно какое преимущество нам дает такая топология сделал в экселе простой расчет какую максимальную мощность и с каким КПД можно снимать при условии что внеполосные излучения не превышают заданного порога (50мВт)

pi-match_ur5ffr_30.png (41.82 KiB) Viewed 2873 times

Например при выходном сопротивлении усилителя 3кОм и добротности 10 мы не должны превышать мощность 65Вт! Увеличение добротности до 15 понижает ограничение до 700Вт, но КПД снижается до 93%. В то же время Pi-L цепь согласования обеспечивает подавление внеполосных излучений с большим запасом, имея при этом КПД в 95%.

Точно так же как и для обычного П-контура для Pi-L network можно вывести формулы расчета по требуемому подавлению второй гармоники. Сами формулы приводить не буду - там ничего особо интересного нет.

[UR5FFR]

Рассматривая работу П-контура мы предполагали что источник сигнала имеет чисто активное сопротивление. Но на практике это не так - любая лампа имеет выходную емкость.
Рассмотрим классический случай усилителя на 4xГУ-50. При анодном 1000в Roe=1250 ом. Для мощности 500вт требуется подавление второй гармоники в П-контуре не менее 33дб. Посчитаем номиналы П-контура по диапазонам

pi-match_ur5ffr_34.png (18.11 KiB) Viewed 2796 times

Видим что на диапазоне 10м емкость на "горячем" конце должна быть 46-47пф. Но емкость анода одной ГУ50 порядка 10пф. А четырех соответственно 40пф. Добавим сюда емкость монтажа 5пф и минимальную емкость переменного конденсатора 15пф получим в сумме 60пф, что больше чем требуется.
Это приводит к тому, что приходится повышать добротность П-контура. Но это приводит к возрастанию потерь и снижению КПД

pi-match_ur5ffr_35.png (11.61 KiB) Viewed 2796 times

Решением для этой проблемы может стать включение небольшой индуктивности между анодом и входом П-контура.
Суть трансформации импедансов понятна из следующего рисунка (RS=Roe, CS - выходная емкость лампы, LS - добавочная индуктивность)

После преобразования RS||CS из параллельного вида в последовательный мы индуктивностью частично компенсируем емкость и выполняем обратное преобразование в параллельное представление. Преобразования выполняются по следующим формулам

pi-match_ur5ffr_33.png (79.69 KiB) Viewed 2796 times

В нашем случае если на выходу четверки ГУ50 установить индуктивность 150nH то на частоте 30МГц 1250ом||45пф будут трансформированы в 723ом||59пф. Казалось бы емкость не уменьшилась. Но существенно уменьшилось сопротивление с 1250 до 723 ом. И расчет П-контура для такого сопротивления дает большее значение емкости на "горячем" конце. А именно 67пф, что на 7пф больше чем у нас есть при минимальном положении КПЕ на "горячем" конце

pi-match_ur5ffr_36.png (30.57 KiB) Viewed 2796 times

Схема L-Pi network имеет следующий вид

pi-match_ur5ffr_31.png (9.22 KiB) Viewed 2724 times

Применяя ранее описанную математику можно построить L-Pi-L network

pi-match_ur5ffr_44.png (9.61 KiB) Viewed 2724 times

Такая схема может быть актуальная для обеспечения лучшего подавления гармоник

Литература
1. Series-to-parallel impedance transformation by Dr. Aaron Scher
2. Series - Parallel Impedance Calculator by AF6C

[UR5FFR]

Все формулы оформил в виде таблиц excel. Скачать можно тут: http://www.ur5ffr.com/viewtopic.php?p=3675#p3675
Сделан расчет для четырех топологий Pi, Pi-L, L-Pi и L-Pi-L (две последние с компенсацией выходной емкости).
Расчет производится исходя из требуемого уровня подавления второй гармоники. Есть возможность корректировать получившиеся в результате расчета индуктивности под физическую реализацию.
В таблицах все поля ввода данных - желтые. Логические блоки связанных вычислений выделены рамкой.
Скриншоты таблиц с краткими пояснениями

Основные параметры
RS - сопротивление источника сигнала. для лампового усилителя = Roe
RL - сопротивление нагрузки
Att2 - степень подавления второй гармоники. можно посчитать в зависимости от мощности в рамке справа
QL1 - физическая добротность катушки П-контура
P2nd - максимальный уровень второй гармоники на выходе

Свип для одной частоты и различных значений добротности.
Так же можно получить два решения для заданной индуктивности если она близка к максимально допустимой

pi-match_ur5ffr_52.png (31.73 KiB) Viewed 2720 times

Расчет Pi-L контура. Дополнительный параметр Rv2 - виртуальное сопротивление согласования между П-контуром и Г-цепочкой на выходе

Расчет L-Pi контура с компенсацией выходной емкости источника.
Дополнительные параметры
CS - выходная емкость источника. для лампового усилителя это емкость анода плюс конструктивная емкость (обычно 3-5пф)
L1 - индуктивность компенсирующей катушки. используется одна катушка на всех диапазонах
C1 min - минимальная емкость переменного конденсатора на "горячем" конце
В случае если индуктивности L1 недостаточно для компенсации емкости на каком-то из диапазонов то будет увеличена добротность до получения необходимой минимальной емкости

pi-match_ur5ffr_54.png (53.79 KiB) Viewed 2720 times

Расчет L-Pi-L контура с компенсацией выходной емкости источника.

pi-match_ur5ffr_55.png (61.08 KiB) Viewed 2720 times